Αριθμητική Ανάλυση και Περιβάλλοντα Υλοποίησης

Περίγραμμα μαθήματος

Τα «τι και γιατί» της Αριθμητικής Ανάλυσης. Βασικές αρχές και διαδικασίες. Ζητήματα αριθμητικής πεπερασμένης ακρίβειας: Αναπαράσταση αριθμών με πεπερασμένη ακρίβεια, αριθμητική κινητής υποδιαστολής και πρότυπο IEEE. Είδη σφαλμάτων στις αριθμητικές διαδικασίες. Ζητήματα αριθμητικής γραμμικής άλγεβρας: Παραγοντοποίηση μητρώων και επίλυση συστημάτων: Στοιχειώδεις μετασχηματισμοί Gauss, Householder και Givens. Παραγοντοποιήσεις LU, Cholesky, QR και επίλυση γραμμικών συστημάτων. Η ανάγκη για οδήγηση και τα είδη της. Νόρμες μητρώων. Ευστάθεια αλγορίθμου και κατάσταση προβλήματος, δείκτες κατάστασης. Λογισμικό MATLAB. Εκτίμηση υπολογιστικών σφαλμάτων. Επίλυση προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων μέσω QR. Προσέγγιση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων: Εγκλεισμός ιδιοτιμών και θεώρημα Gerschgorin.. Επαναληπτική μέθοδος δύναμης, πηλίκο Rayleigh, αντίστροφη μέθοδος δύναμης και παραλλαγές. Στοιχεία επαναληπτικών μεθόδων επίλυσης γραμμικών συστημάτων: Βασικές διασπάσεις και οι κλασικές μέθοδοι Jacobi και Gauss-Seidel. Αναγωγήσιμα μητρώα. Συνθήκες σύγκλισης επαναληπτικών μεθόδων. Σύντομη αναφορά σε μεθόδους υποχώρων  και στη μέθοδο συζυγών κλίσεων (CG). Παρεμβολή και προσέγγιση συναρτήσεων μίας μεταβλητής: Από τις απειροσειρές Taylor  στο θεώρημα Weierstrass και τα πολυώνυμα Bernstein. Τα πολυώνυμα ως βασικά εργαλεία, πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα. Αναπαραστάσεις Lagrange, Newton, Hermite  και διαιρεμένες διαφορές. Ανάλυση σφάλματος παρεμβολής. Το φαινόμενο Runge. Σημεία Chebyshev και βαρυκεντρική αναπαράσταση. Τριγωνομετρική παρεμβολή και το FFT. Τμηματικά πολυώνυμα και splines. Ενδεικτικό λογισμικό MATLAΒ. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων και συστημάτων: Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων μίας μεταβλητής: Θεώρημα Bolzano. Μέθοδος διχοτόμησης. Σταθερό σημείο συνάρτησης και επαναλήψεις σταθερού σημείου. Θεώρημα σταθερού σημείου του Brouwer. Μέθοδος Newton, μέθοδος τέμνουσας, μέθοδος regular falsi. Υβριδικές μέθοδοι και αλγόριθμος zeroin. Επίλυση μη γραμμικών συστημάτων: Μέθοδοι Newton και inexact Newton. Υπολογιστικά θέματα και εμφωλευμένες επαναλήψεις. Αριθμητική παραγώγιση και ολοκλήρωση: Εμπρός διαφορές, πίσω διαφορες και κεντρισμένες διαφορές για προσέγγιση παραγώγων. Αριθμητική ολοκλήρωση (τετραγωνισμός): Κανόνες ορθογωνίου, τραπεζίου, Simpson και σύνθετες εκδοχές τους.  Σύντομη αναφορά στις μεθόδους Gauss. Σύντομη αναφορά στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Παραδείγματα λογισμικού από το MATLAB και από τη βιβλιοθήκη CALGO της ACM. Εκτενέστερη παρουσίαση και βασικές αναφορές στη σελίδα του μαθήματος στο e-class (https://eclass.upatras.gr/courses/CEID1066). Βασικές αναφορές: Διαφάνειες μαθήματος. C. Moler, Αριθμητικές Μέθοδοι με το MATLAB, Κλειδάριθμος, 2010. A. Quarteroni και F. Saleri, “Scientific Computing with MATLAB and Octave” (διαθέσιμο ηλεκτρονικά), Springer, 2006 (electronic resource). Μ. Βραχάτης, «Αριθμητικές Μέθοδοι: Εισαγωγή», Κλειδάριθμος, 2011.